フォンテーネの定理
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幾何学において、フォンテーネの定理（フォンテーネのていり、英:Fontené theorems,Fontene's theorems）は、九点円と垂足円に関する3つの定理の総称である[1][2][3]。フランスの数学者、ジョルジュ・フォンテーネにちなんで名付けられた[4]。
第一フォンテーネの定理[編集]
△ ABCと点Pについて、その中点三角形を△A'B'C'、Pの垂足三角形を△XYZとする。また、YZとB'C' 、ZXとC'A' 、XYとA'B' の交点をそれぞれD,E,Fとすると、DX,EY,FZは九点円上で交わる[5]。これを第一フォンテーネの定理と言う[6]。
第二フォンテーネの定理[編集]
外心を通る直線l上の点の垂足円は、九点円上の定点を通る[7]。これを第二フォンテーネの定理と言う。グリフィスの定理とも呼ばれる。また、この定点はlに対するグリフィス点（the Griffiths point）と呼ばれる。グリフィス点は、l上の点の等角共役点の軌跡である外接円錐双曲線の中心と一致する[8]。九点円と垂足円のもう一方の交点は、元の点とA,B,Cを通る直角双曲線（垂心を通る）の中心である[9]。
第三フォンテーネの定理[編集]
三角形と点Pについて、Pの等角共役点をP*とする。PとP*と外心が同一直線上にあることと、Pの垂足円と九点円が接することは同値である[10]。これを、第三フォンテーネの定理と言う[11][9]。接点はフォンテーネ点（Fontene point）と呼ばれる[8]。フォイエルバッハの定理とフォイエルバッハ点はこの定理の特別な場合である。また、PとP*と外心が共線であるようなPの軌跡はマッケイ三次曲線である。
関連[編集]
出典[編集]
- ^ Weisstein, Eric W.. “Fontené Theorems” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年4月13日閲覧。
- ^ “Fontene theorems and some corollaries”. Linh Nguyen Van. 2024年4月13日閲覧。
- ^ Bocau Marius. “On Fontene's Theorems” (英語). Docslib. 2024年6月3日閲覧。
- ^ “Fontené Theorems - ProofWiki”. proofwiki.org. 2024年4月13日閲覧。
- ^ 『Surles points de contact du cercle des neuf points d’un triangle avec les cercles tangents aux trois côtés』Nouvelles annales de mathématiques、1905年、529-538頁。
- ^ “Modern geometry; an elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle, by Roger A. Johnson ... under the editorship of John Wesley Young ...” (英語). HathiTrust. 2024年5月16日閲覧。
- ^ 『Sur le cercle pédal』Nouvelles annales de mathématiques、1906年、508-509頁。
- ^ a b “Pedals of the Poncelet Pencil and Fontene Points”. Roger C. Alperin. 2024年4月20日閲覧。
- ^ a b Neville, E. H. (1944). “1709. Notes on Conics. 10: Fontené's Theorem”. The Mathematical Gazette 28 (279): 56–58. doi:10.2307/3606361. ISSN 0025-5572.
- ^ 『Extension du théorème de Feuerbach』Nouvelles annales de mathématiques、1905年、544-506頁。
- ^ Lowell Coolidge Julian. (1916). A Treatise On The Circle And The Sphere. Osmania University, Digital Library Of India. Oxford At The Clarendon Press.