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素数定数(そすうていすう、英: prime constant)は2進法の小数点以下 n 桁目を、n が素数ならば 1、そうでなければ 0 とした実数であり、記号 ρ で表される:
- (オンライン整数列大辞典の数列 A010051)
10進法では
- (オンライン整数列大辞典の数列 A051006)
となる。
言い換えると、ρ は2進展開(英語版)が素数全体からなる集合 の指示関数 に対応する数である:
無理数性[編集]
ρが無理数であることは背理法を用いて容易に証明できる。
ρ の2進展開での k 桁目をr_kとする。ρが合成数とすると任意の自然数 i に対して、r_n = r_{n+ik}が N < n、に対して成立する正の整数 N と k が存在する。
素数は無限に存在するため、N < p なる素数が存在し、定義によりr_p = 1である。前述の通り、任意の i に対して r_p = r_{p+ik}である。i=pを考えると、添字は素因数分解されるため、1< k+1 に対して r_{p+ik} = r_{p+pk} = r_{p(k+1)} = 0 である。したがって、r_p ≠ r_{p(k+1)}となり、矛盾するため、ρは無理数である。
関連項目[編集]
- 双子素数定数(英語版)(twin prime constant) ただし定義はかなり異なる。